Pendiente de la recta
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Para otros usos de este término, véase Pendiente.
Pendiente de una carretera.
En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente del valor de la "m" es el ángulo en radianes).
Puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros elementos constructivos.
Contenido
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* 1 Definición de la pendiente
* 2 Geometría
* 3 La pendiente en las ecuaciones de la recta
* 4 Véase también
Definición de la pendiente [editar]
La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:
m = \frac{\Delta y}{\Delta x}
(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en calculo para representar un cambio o diferencia).
Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Geometría [editar]
Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "baje hacia la derecha", tiene pendiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente tiende a infinito.
El ángulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación:
m = \tan\,\theta
y
\theta = \arctan\,m
(ver Trigonometría).
Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; 2 o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas), si el producto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no esta definida (infinita).
La pendiente en las ecuaciones de la recta [editar]
Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:
y = mx + b \,
entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de b puede ser interpretado como el punto donde la recta intersecta al eje Y, es decir, el valor de y cuando x = 0. Este valor también es llamado ordenada al origen.
Si la pendiente m de una recta y el punto (x0,y0) de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:
y - y_0 = m(x - x_0) \,
Por ejemplo, considere una recta que pasa por los puntos (2, 8) y (3, 20). Esta recta tiene pendiente m = \frac{(20 - 8)}{(3 - 2)} = 12. Luego de esto, uno puede definir la ecuación para esta recta usando la fórmula antes mencionada:
y - 8 = 12(x - 2) = 12x - 24 \Rightarrow y = 12x - 16
La pendiente de la recta en la fórmula general:
Ax + By + C = 0 \,
está dada por: -\frac{A}{B}
Véase también [editar]
* Derivada
* Gradiente
* Lista de pendientes y deformaciones en vigas
* Trazado altimétrico
martes, 27 de octubre de 2009
funcion lineal
Función lineal
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Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.
Codominio.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Véase también: Operador (mecánica cuántica)
Contenido
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* 1 Definición
* 2 Ejemplos
o 2.1 Transformación lineal identidad
o 2.2 Homotecias
* 3 Propiedades de las transformaciones lineales
* 4 Núcleo e imagen
* 5 Teorema de las dimensiones
* 6 Teorema fundamental de las transformaciones lineales
* 7 Clasificación de las transformaciones lineales
* 8 Matriz asociada a una transformación lineal
* 9 Función lineal como propiedad de los sistemas generales
* 10 Interpretación geométrica
o 10.1 Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines
o 10.2 Ejemplo en el plano xy
o 10.3 Ecuación lineal en el espacio n-dimensional
o 10.4 Sistemas de ecuaciones lineales
* 11 Véase también
Definición [editar]
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1. T(u+v) = T(u) + T(v) \,
2. T(ku) = kT(u) \, donde k es un escalar.
Ejemplos [editar]
(Aclaración: 0V es el vector nulo del dominio y 0W es el vector nulo del codominio)
Transformación lineal identidad [editar]
T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x \forall x \in V
Homotecias [editar]
T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx con k \in \mathbb{K}
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias
Propiedades de las transformaciones lineales [editar]
Sean \mathbb{V} y \mathbb{W} espacios vectoriales sobre \mathbb{K} (donde \mathbb{K} representa el cuerpo) se satisface que:
1. T:V \rarr W / T(0_V)= 0_W
2. \forall X \in \mathbb{V}, T:\mathbb{V} \rarr \mathbb{W} / T(-X)=-T(X)
3. \forall X \in \mathbb{V}, T:\mathbb{V} \rarr \mathbb{W} / T(X-Y)=T(X)-T(Y)
4. \forall a, b \in \real; \forall X \in \mathbb{V},\forall Y \in \mathbb{V} \Rightarrow T:\mathbb{V} \rarr \mathbb{W} / T(aX+bY)=a\,T(X)+bT(Y)\,
Núcleo e imagen [editar]
Si T: V \rarr W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
\operatorname{ker}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. 0_V \in \operatorname{ker}(T) dado que \operatorname {T}(0_V) = 0_W
2. Dados u , v \in \operatorname{ker}(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in \operatorname{ker}(T)
3. Dados u \in \operatorname{ker}(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in \operatorname{ker}(T)
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. \operatorname{null}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T))
\operatorname{Im}(T) = \left\{w \in W : w = T(x), x\in V \right\}
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
* La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
* El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
\operatorname{ran}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))
una funcion lineal es la correspoendecia
Teorema de las dimensiones [editar]
dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)
Demostración: Tomando los espacios isomorfos muy conocidos, V / ker(T) y Im(T) (la demostración que son isomorfos, es trivial), se sabe que sus dimensiones son iguales. Por definición, la dimensión de V / ker(T) es: dim(V / ker(T)) = dim(V) − dim(ker(T)) Pero como V / ker(T) y Im(T) son isomorfos, entonces dim(V / ker(T)) = dim(Im(T)) reemplazando, queda: dim(Im(T)) = dim(V) − dim(ker(T)),dim(Im(T)) + dim(ker(T)) = dim(V)
Teorema fundamental de las transformaciones lineales [editar]
* Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal. T: V \rarr W / T(V_i) = W_i, \forall 1\le i\le n
Clasificación de las transformaciones lineales [editar]
1. Monomorfismo: Si T: V \rarr W es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. \operatorname{ker}(T) = {0_V}
2. Epimorfismo: Si T: V \rarr W es sobreyectiva (exhaustiva).
3. Isomorfismo: Si T: V \rarr W es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
Matriz asociada a una transformación lineal [editar]
Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.
Dada T: V → W, con B={v1, v2, v3,..., vn} y C={w1, w2, w3,...,wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al tranformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz resultante de "colgar" las corrdenadas de cada elemento de B:
C(T)B = (coordC(v1), coordC(v2),..., coordC(vn))
Función lineal como propiedad de los sistemas generales [editar]
Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades:
* Si aplicamos una entrada u1(x) obtenemos una salida particular y1(x)
* Si aplicamos una entrada u2(x) obtenemos una salida particular y2(x)
* Entonces si aplicamos u3(x)=c1u1(x)+c2u2(x) obtenemos una salida y3(x)=c1y1(x)+c2y2(x) para todos los pares de entradas u1(x) y u2(x) y para todos los pares de constantes c1 y c2.
Esto incluye también a las funciones lineales diferenciales.
Interpretación geométrica [editar]
Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines [editar]
En el análisis matemático y en la geometría, se suele abusar del lenguaje y denominar función lineal de una variable real a una función matemática de la forma:
f(x) = m x + b \,
donde m y b con constantes. La denominación correcta de este tipo de funciones es función afín.
La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afín f(x) = mx + b tiene una función lineal asociada f(x) = mx. De hecho, una ecuación de la forma y = mx + b se denomina ecuación lineal. Toda función afín tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asintóticamente como su función lineal asociada.
Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente
y = m x + b \,
que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.
* m es denominada la pendiente de la recta.
* b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).
Ejemplo en el plano xy [editar]
FuncionLineal01.svg
En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones afines siguientes:
y= 0,5 {x} + 1 \ y= 0,5 {x} - 1 \ e \ y= 2 {x} + 1
en la primer recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 1, luego la recta corta el eje y en el punto y= 1
La ecuación:
y= 0,5 {x} - 1 \,
tiene el valor de la pendiente m= 1/2, igual que en el caso anterior, por eso estas dos rectas son paralelas, como el valor de b= -1, esta recta corta el eje de las y en el punto y= -1.
La tercera ecuación, es:
y= 2{x} + 1 \,
la pendiente de la recta, el parámetro m= 2, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y la hace en dos unidades, el corte con el eje y, lo tiene en y= 1, dado que el valor de b= 1.
En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
m = \tan \theta \,
Ecuación lineal en el espacio n-dimensional [editar]
Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma
f(x,y) = a_1 x + a_2 y \,
representa un plano y una función
f(x_1,x_2,...,x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n \,
representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones y pasa por el origen de coordenadas en un espacio n-dimensional.
Sistemas de ecuaciones lineales [editar]
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.
Hay que puntualizar que a veces (particularmente en geometría), en un ejercicio, se pide resolver un sistema de ecuaciones que tiene menos ecuaciones que incógnitas, o cuyo determinante es nulo. En estos casos habrá incógnitas para los que no podamos encontrar ningún valor concreto (es decir, que no podremos decir "cuánto valen"). En estos casos, lo que hay que hacer es despejar esas incógnitas como si supiéramos sus valores, y considerarlas como parámetros. La solución es entonces no ya un punto, sino una recta, un plano, o en general una variedad lineal en el espacio afín asociado al espacio vectorial en el que trabajemos.
Ventajas de las funciones lineales Una función lineal tiene las ventajas de representarse o caracterizarse por medio de tablas o gráficas, la variación de una variable con respecto a otra o mejor dicho la variación de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La variable independiente puede ir acompañada por valores constantes en forma de factores o sumandos y la variable dependiente cambia conforme a como varía la variable independiente y se ve afectada por los términos constantes que le acompañen. Usando funciones lineales podemos resolver problemas de la vida diaria en forma cotidiana empleamos ésta para resolver problemas de costos, compras, traslados, cálculos de perímetros, pero sobre todo su aplicación en la vida cotidiana es en el sector empresarial en el aspecto económico o físico cuyos comportamientos se comprueban a través de las gráficas ya sean lineales creciente o decreciente.
Véase también [editar]
* Ver el portal sobre Función lineal Portal:Matemática Contenido relacionado con Matemática.
* Álgebra lineal
* No linealidad
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Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.
Codominio.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Véase también: Operador (mecánica cuántica)
Contenido
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* 1 Definición
* 2 Ejemplos
o 2.1 Transformación lineal identidad
o 2.2 Homotecias
* 3 Propiedades de las transformaciones lineales
* 4 Núcleo e imagen
* 5 Teorema de las dimensiones
* 6 Teorema fundamental de las transformaciones lineales
* 7 Clasificación de las transformaciones lineales
* 8 Matriz asociada a una transformación lineal
* 9 Función lineal como propiedad de los sistemas generales
* 10 Interpretación geométrica
o 10.1 Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines
o 10.2 Ejemplo en el plano xy
o 10.3 Ecuación lineal en el espacio n-dimensional
o 10.4 Sistemas de ecuaciones lineales
* 11 Véase también
Definición [editar]
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1. T(u+v) = T(u) + T(v) \,
2. T(ku) = kT(u) \, donde k es un escalar.
Ejemplos [editar]
(Aclaración: 0V es el vector nulo del dominio y 0W es el vector nulo del codominio)
Transformación lineal identidad [editar]
T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x \forall x \in V
Homotecias [editar]
T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx con k \in \mathbb{K}
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias
Propiedades de las transformaciones lineales [editar]
Sean \mathbb{V} y \mathbb{W} espacios vectoriales sobre \mathbb{K} (donde \mathbb{K} representa el cuerpo) se satisface que:
1. T:V \rarr W / T(0_V)= 0_W
2. \forall X \in \mathbb{V}, T:\mathbb{V} \rarr \mathbb{W} / T(-X)=-T(X)
3. \forall X \in \mathbb{V}, T:\mathbb{V} \rarr \mathbb{W} / T(X-Y)=T(X)-T(Y)
4. \forall a, b \in \real; \forall X \in \mathbb{V},\forall Y \in \mathbb{V} \Rightarrow T:\mathbb{V} \rarr \mathbb{W} / T(aX+bY)=a\,T(X)+bT(Y)\,
Núcleo e imagen [editar]
Si T: V \rarr W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
\operatorname{ker}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. 0_V \in \operatorname{ker}(T) dado que \operatorname {T}(0_V) = 0_W
2. Dados u , v \in \operatorname{ker}(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in \operatorname{ker}(T)
3. Dados u \in \operatorname{ker}(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in \operatorname{ker}(T)
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. \operatorname{null}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T))
\operatorname{Im}(T) = \left\{w \in W : w = T(x), x\in V \right\}
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
* La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
* El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
\operatorname{ran}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))
una funcion lineal es la correspoendecia
Teorema de las dimensiones [editar]
dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)
Demostración: Tomando los espacios isomorfos muy conocidos, V / ker(T) y Im(T) (la demostración que son isomorfos, es trivial), se sabe que sus dimensiones son iguales. Por definición, la dimensión de V / ker(T) es: dim(V / ker(T)) = dim(V) − dim(ker(T)) Pero como V / ker(T) y Im(T) son isomorfos, entonces dim(V / ker(T)) = dim(Im(T)) reemplazando, queda: dim(Im(T)) = dim(V) − dim(ker(T)),dim(Im(T)) + dim(ker(T)) = dim(V)
Teorema fundamental de las transformaciones lineales [editar]
* Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal. T: V \rarr W / T(V_i) = W_i, \forall 1\le i\le n
Clasificación de las transformaciones lineales [editar]
1. Monomorfismo: Si T: V \rarr W es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. \operatorname{ker}(T) = {0_V}
2. Epimorfismo: Si T: V \rarr W es sobreyectiva (exhaustiva).
3. Isomorfismo: Si T: V \rarr W es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
Matriz asociada a una transformación lineal [editar]
Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.
Dada T: V → W, con B={v1, v2, v3,..., vn} y C={w1, w2, w3,...,wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al tranformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz resultante de "colgar" las corrdenadas de cada elemento de B:
C(T)B = (coordC(v1), coordC(v2),..., coordC(vn))
Función lineal como propiedad de los sistemas generales [editar]
Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades:
* Si aplicamos una entrada u1(x) obtenemos una salida particular y1(x)
* Si aplicamos una entrada u2(x) obtenemos una salida particular y2(x)
* Entonces si aplicamos u3(x)=c1u1(x)+c2u2(x) obtenemos una salida y3(x)=c1y1(x)+c2y2(x) para todos los pares de entradas u1(x) y u2(x) y para todos los pares de constantes c1 y c2.
Esto incluye también a las funciones lineales diferenciales.
Interpretación geométrica [editar]
Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines [editar]
En el análisis matemático y en la geometría, se suele abusar del lenguaje y denominar función lineal de una variable real a una función matemática de la forma:
f(x) = m x + b \,
donde m y b con constantes. La denominación correcta de este tipo de funciones es función afín.
La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afín f(x) = mx + b tiene una función lineal asociada f(x) = mx. De hecho, una ecuación de la forma y = mx + b se denomina ecuación lineal. Toda función afín tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asintóticamente como su función lineal asociada.
Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente
y = m x + b \,
que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.
* m es denominada la pendiente de la recta.
* b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).
Ejemplo en el plano xy [editar]
FuncionLineal01.svg
En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones afines siguientes:
y= 0,5 {x} + 1 \ y= 0,5 {x} - 1 \ e \ y= 2 {x} + 1
en la primer recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 1, luego la recta corta el eje y en el punto y= 1
La ecuación:
y= 0,5 {x} - 1 \,
tiene el valor de la pendiente m= 1/2, igual que en el caso anterior, por eso estas dos rectas son paralelas, como el valor de b= -1, esta recta corta el eje de las y en el punto y= -1.
La tercera ecuación, es:
y= 2{x} + 1 \,
la pendiente de la recta, el parámetro m= 2, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y la hace en dos unidades, el corte con el eje y, lo tiene en y= 1, dado que el valor de b= 1.
En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
m = \tan \theta \,
Ecuación lineal en el espacio n-dimensional [editar]
Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma
f(x,y) = a_1 x + a_2 y \,
representa un plano y una función
f(x_1,x_2,...,x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n \,
representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones y pasa por el origen de coordenadas en un espacio n-dimensional.
Sistemas de ecuaciones lineales [editar]
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.
Hay que puntualizar que a veces (particularmente en geometría), en un ejercicio, se pide resolver un sistema de ecuaciones que tiene menos ecuaciones que incógnitas, o cuyo determinante es nulo. En estos casos habrá incógnitas para los que no podamos encontrar ningún valor concreto (es decir, que no podremos decir "cuánto valen"). En estos casos, lo que hay que hacer es despejar esas incógnitas como si supiéramos sus valores, y considerarlas como parámetros. La solución es entonces no ya un punto, sino una recta, un plano, o en general una variedad lineal en el espacio afín asociado al espacio vectorial en el que trabajemos.
Ventajas de las funciones lineales Una función lineal tiene las ventajas de representarse o caracterizarse por medio de tablas o gráficas, la variación de una variable con respecto a otra o mejor dicho la variación de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La variable independiente puede ir acompañada por valores constantes en forma de factores o sumandos y la variable dependiente cambia conforme a como varía la variable independiente y se ve afectada por los términos constantes que le acompañen. Usando funciones lineales podemos resolver problemas de la vida diaria en forma cotidiana empleamos ésta para resolver problemas de costos, compras, traslados, cálculos de perímetros, pero sobre todo su aplicación en la vida cotidiana es en el sector empresarial en el aspecto económico o físico cuyos comportamientos se comprueban a través de las gráficas ya sean lineales creciente o decreciente.
Véase también [editar]
* Ver el portal sobre Función lineal Portal:Matemática Contenido relacionado con Matemática.
* Álgebra lineal
* No linealidad
proporcionalidad
Proporcionalidad
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La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades.
Contenido
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* 1 Primer ejemplo
* 2 Segundo ejemplo
* 3 Tercer ejemplo
* 4 Aplicación en geometría
Primer ejemplo [editar]
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 de mantequilla y 150 de azúcar tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( 5 \over 4 en el ejemplo) tal que
y_1 = k\cdot x_1, y_2= k\cdot x_2 \quad...\quad y_n= k\cdot x_n \
variables proporcionales relacionados por una función lineal
Si se consideran x_1, x_2 ... x_n \ e y_1, y_2 ... y_n \ como valores de variables x \ e y \ , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
\Delta y = k \cdot \Delta x \
Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.
La relación «Ser proporcional a» es
* reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
* simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
* transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
tres tablas de proporcionalidad 2x2
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
tres maneras de ver la proporcionalidad
Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Una proporción está formada por dos razones iguales:
a : b = c : d
Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .
Proporción múltiple:
Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:
a : b = c : d = e : f
Y se puede expresar como una proporción múltiple:
a : c : e = b : d : f
En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:
1. verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por b \over a; en la segunda línea se tiene que multiplicar por d \over c, luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme interés en este contexto).
Segundo ejemplo [editar]
Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?
Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.
Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.
proporcionalidad múltiple
Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ? El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por 4 \over 3. Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por 5 \over 2 (la subtabla azul es proporcional).
El resultado final es 12 \times \frac 4 3 \times \frac 5 2 = 40 metros cuadrados.
La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:
caso general de la proporcionalidad múltiple
Tercer ejemplo [editar]
Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?
Entre mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje se dividira por dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite responder a la pregunta:
ejemplo de proporcionalidad inversa
cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad (segunda tabla). El tiempo será 2,5 \times \frac 7 {10} = 1,75, es decir una hora y 45 minutos.
Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar la proporcionalidad con 1 \over x , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:
método para la proporcionalidad inversa
Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido.
una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ejem:
número de canicas precio
2 canicas 50 centavos
4 canicas 1 peso
6 canicas 1,50 pesos
Magnitudes Directamente Proporcionales:
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número,la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número
Ejemplo:
Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?
Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante.Con los datos de la tabla, hallamos la razón
elaboramos una tabla de proporcionalidad:
Gasolina 3 1 10 20 40 (galones)
Recorrido 120 40 400 800 1600 (kilómetros)
Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, mas galones de gasolina de consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Esto es, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.
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La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades.
Contenido
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* 1 Primer ejemplo
* 2 Segundo ejemplo
* 3 Tercer ejemplo
* 4 Aplicación en geometría
Primer ejemplo [editar]
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 de mantequilla y 150 de azúcar tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( 5 \over 4 en el ejemplo) tal que
y_1 = k\cdot x_1, y_2= k\cdot x_2 \quad...\quad y_n= k\cdot x_n \
variables proporcionales relacionados por una función lineal
Si se consideran x_1, x_2 ... x_n \ e y_1, y_2 ... y_n \ como valores de variables x \ e y \ , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
\Delta y = k \cdot \Delta x \
Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.
La relación «Ser proporcional a» es
* reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
* simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
* transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
tres tablas de proporcionalidad 2x2
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
tres maneras de ver la proporcionalidad
Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Una proporción está formada por dos razones iguales:
a : b = c : d
Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .
Proporción múltiple:
Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:
a : b = c : d = e : f
Y se puede expresar como una proporción múltiple:
a : c : e = b : d : f
En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:
1. verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por b \over a; en la segunda línea se tiene que multiplicar por d \over c, luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme interés en este contexto).
Segundo ejemplo [editar]
Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?
Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.
Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.
proporcionalidad múltiple
Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ? El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por 4 \over 3. Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por 5 \over 2 (la subtabla azul es proporcional).
El resultado final es 12 \times \frac 4 3 \times \frac 5 2 = 40 metros cuadrados.
La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:
caso general de la proporcionalidad múltiple
Tercer ejemplo [editar]
Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?
Entre mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje se dividira por dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite responder a la pregunta:
ejemplo de proporcionalidad inversa
cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad (segunda tabla). El tiempo será 2,5 \times \frac 7 {10} = 1,75, es decir una hora y 45 minutos.
Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar la proporcionalidad con 1 \over x , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:
método para la proporcionalidad inversa
Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido.
una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ejem:
número de canicas precio
2 canicas 50 centavos
4 canicas 1 peso
6 canicas 1,50 pesos
Magnitudes Directamente Proporcionales:
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número,la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número
Ejemplo:
Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?
Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante.Con los datos de la tabla, hallamos la razón
elaboramos una tabla de proporcionalidad:
Gasolina 3 1 10 20 40 (galones)
Recorrido 120 40 400 800 1600 (kilómetros)
Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, mas galones de gasolina de consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Esto es, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.
pi
Número π
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Artículo bueno
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en Geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
\pi \approx 3{,}14159265358979323846...
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.
π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante en Geometría euclidiana.
Lista de números – Números irracionales
ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binario 11,00100100001111110110…
Decimal 3,14159265358979323846…
Hexadecimal 3,243F6A8885A308D31319…
Fracción continua 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}
Nótese que la fracción continua no es periódica.
Contenido
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* 1 El nombre π
* 2 Historia del calculo del valor π
o 2.1 Antiguo Egipto
o 2.2 Mesopotamia
o 2.3 Referencias bíblicas
o 2.4 Antigüedad clásica
o 2.5 Matemática china
o 2.6 Matemática india
o 2.7 Matemática islámica
o 2.8 Renacimiento europeo
o 2.9 Época moderna (pre-computacional)
o 2.10 Época moderna (computacional)
* 3 Características matemáticas
o 3.1 Definiciones
o 3.2 Número irracional y trascendente
o 3.3 Las primeras cincuenta cifras decimales
* 4 Fórmulas que contienen a π
o 4.1 En geometría
o 4.2 En probabilidad
o 4.3 En análisis matemático
* 5 Cómputos de π
o 5.1 Pi y los números primos
o 5.2 Fórmula de Machin
o 5.3 Métodos eficientes
* 6 Aproximaciones geométricas a π
o 6.1 Método de Kochanski
o 6.2 Método de Mascheroni
* 7 Uso en matemáticas y ciencia
o 7.1 Geometría y trigonometría
o 7.2 Análisis superior y teoría de números
o 7.3 Física
o 7.4 Probabilidad y estadística
* 8 Curiosidades
o 8.1 Reglas nemotécnicas
o 8.2 Aparición en medios
o 8.3 Datos interesantes
o 8.4 Días de Aproximación a Pi
* 9 Cuestiones abiertas sobre π
* 10 Referencias
* 11 Véase también
* 12 Enlaces externos
El nombre π [editar]
Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y popularizado por Leonhard Euler.
La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de un círculo.[1] Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones[2] y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).
Historia del calculo del valor π [editar]
La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.
Antiguo Egipto [editar]
Detalle del papiro Rhind.
El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,[3] donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:
S = \pi r^2 \simeq \left( \frac{8}{9} \cdot d \right)^2 = \frac{64}{81} d^2 = \frac{64}{81} \left(4 r^2\right)
\pi \simeq \frac{256}{81} = 3{,}16049 \ldots
Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity,[4] describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.
Mesopotamia [editar]
Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de π igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de 3 + 1/8.
Referencias bíblicas [editar]
Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:
«Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos.»
I Reyes 7:23 (Reina-Valera 1995)
Una cita similar se puede encontrar en II Crónicas 4:2. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica.
Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto.
Método de aproximación de Liu Hui.
Antigüedad clásica [editar]
El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π, entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes[5] era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.
Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.
En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:
\pi \simeq \frac{377}{120} = 3{,}1416 \ldots
Matemática china [editar]
El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrólogo chino Chang Hong (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación \sqrt {10}, que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el método empleado.[6] Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir[7] que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96[8] o 192[6] lados. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados.[8] [9]
A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926 al que llamó «valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muy conocidas ambas,[10] siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV.[8]
Matemática india [editar]
Usando un polígono regular inscripto de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula π como \sqrt {10}, cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.[6]
Matemática islámica [editar]
En el siglo IX Al-Jwarizmi en su "Álgebra" (Hisab al yabr ua al muqabala) hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.
Renacimiento europeo [editar]
John Wallis, (1616–1703).
Leonhard Euler, (1707–1783).
A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Fibonacci, en su «Practica Geometriae», amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el método de Arquímedes.
Época moderna (pre-computacional) [editar]
En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac Newton desarrolla la serie[11]
\arcsin {x} = x + \frac {1}{2} \cdot \frac {x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2\cdot 4} \cdot \frac {x^5}{5} + \frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} \cdot \frac{x^7}{7} + \ldots
Con x = \frac {1} {2} obtuvo una serie para \arcsin(\frac {1} {2}) = \frac {\pi} {6}.
El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots = \frac{\pi}{2} .
En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemático inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con una precisión de 71 dígitos decimales usando la serie de Gregory:
\arctan (x) = x - \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} - \ldots
Con x = \frac {1} {\sqrt{3}} se obtiene una serie para \arctan (\frac {1} {\sqrt{3}}) = \frac {\pi} {6}. Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededor de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés Thomas de Lagny utilizó el mismo método para obtener una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112 eran correctos).
Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie matemática que lleva su nombre:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots = \frac{\pi}{4} .
Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159 andc. = π». Leonhard Euler adoptó el conocido símbolo en 1737, que se convirtió en la notación habitual hasta nuestros días.
El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.
En 1789 el matemático de origen eslovaco Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.
El matemático aficionado de origen inglés William Shanks dedicó cerca de 20 años a calcular π y llegó a obtener 707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.
Algunas aproximaciones históricas de valores de π, anteriores a la época computacional, se muestran en la siguiente tabla:
Año Matemático o documento Cultura Aproximación Error
(en partes por millón)
~1900 a. C. Papiro de Ahmes Egipcia 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 a. C. Tablilla de Susa Babilónica 25/8 = 3,125 5282 ppm
~600 a. C. La Biblia (Reyes I, 7,23) Judía 3 45070 ppm
~500 a. C. Bandhayana India 3,09 16422 ppm
~250 a. C. Arquímedes de Siracusa Griega entre 3 10/71 y 3 1/7
empleó 211875/67441 ~ 3,14163
<402 ppm
13,45 ppm
~150 Claudio Ptolomeo Greco-egipcia 377/120 = 3,141666... 23,56 ppm
263 Liu Hui China 3,14159 0,84 ppm
263 Wang Fan China 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chang Hong China 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~500 Zu Chongzhi China entre 3,1415926 y 3,1415929
empleó 355/113 ~ 3,1415929 <0,078 ppm
0,085 ppm
~500 Aryabhata India 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta India 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~800 Al-Juarismi Persa 3,1416 2,34 ppm
1220 Fibonacci Italiana 3,141818 72,73 ppm
1400 Madhava India 3,14159265359 0,085 ppm
1424 Al-Kashi Persa 2π = 6,2831853071795865 0,1 ppm
Época moderna (computacional) [editar]
Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posibles. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de π.
En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener un número inmensamente grande de decimales; en 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, formada por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Para ello hicieron falta 73 horas y 36 minutos.
Año Descubridor Ordenador utilizado Número de cifras decimales
1949 G.W. Reitwiesner y otros[12] ENIAC 2.037
1954 NORAC 3.092
1959 Guilloud IBM 704 16.167
1967 CDC 6600 500.000
1973 Guillord y Bouyer[12] CDC 7600 1.001.250
1981 Miyoshi y Kanada[12] FACOM M-200 2.000.036
1982 Guilloud 2.000.050
1986 Bailey CRAY-2 29.360.111
1986 Kanada y Tamura[12] HITAC S-810/20 67.108.839
1987 Kanada, Tamura, Kobo y otros NEC SX-2 134.217.700
1988 Kanada y Tamura Hitachi S-820 201.326.000
1989 Hermanos Chudnovsky CRAY-2 y IBM-3090/VF 480.000.000
1989 Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1.011.196.691
1991 Hermanos Chudnovsky 2.260.000.000
1994 Hermanos Chudnovsky 4.044.000.000
1995 Kanada y Takahashi HITAC S-3800/480 6.442.450.000
1997 Kanada y Takahashi Hitachi SR2201 51.539.600.000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 68.719.470.000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 206.158.430.000
2002 Kanada y otros[12] [3] Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000
2004 Hitachi 1.351.100.000.000
2009 Daisuke Takahashi[13] T2K Tsukuba System 2.576.980.370.000
En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.
Características matemáticas [editar]
Se muestra la relación entre un cuadrado de lado r y un círculo de radio r. El área del círculo es πr2.
Definiciones [editar]
Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante.[14] No obstante, existen diversas definiciones del número π, pero las más común es:
* π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
Por tanto, también π es:
* El área de un círculo unitario (de radio unidad del plano euclídeo).
* El menor número real x positivo tal que sen(x) = 0.
También es posible definir analíticamente π, dos definiciones son posibles:
* Le ecuación sobre los números complejos eix + 1 = 0 admite una infinidad de soluciones reales positivas, la más pequeña de las cuales es precisamente π.
* La ecuación diferencial S''(x) + S(x) = 0 con las condiciones de contorno S(0) = 0,S'(0) = 1 para la que existe solución única, garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica cuya raíz positiva más pequeña es precisamente π.
Número irracional y trascendente [editar]
Artículo principal: Prueba de que π es irracional
Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.
También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,[15] 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham 1970[cita requerida]).
Las primeras cincuenta cifras decimales [editar]
A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los cincuenta primeros son:
π ≈ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias, así como Las primeras cien mil cifras decimales A00796 y OEIS.
En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeño que el tamaño de un protón.[16]
Fórmulas que contienen a π [editar]
Diameter and Pi 1.gif
En geometría [editar]
* Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r
Áreas de secciones cónicas:
* Área del círculo de radio r: A = π r²
* Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab
Áreas de cuerpos de revolución:
* Área del cilindro: 2 π r (r+h)
* Área del cono: π r² + π r g
* Área de la esfera: 4 π r²
Volúmenes de cuerpos de revolución:
* Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
* Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h
* Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3
Ecuaciones expresadas en radianes:
* Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.
En probabilidad [editar]
* La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
* Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
* El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
* Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Dπ/2L
En análisis matemático [editar]
* Fórmula de Leibniz:
\sum_{n=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}}\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
* Producto de Wallis:
\prod_{n=1}^{\infty }{{{4\,n^2}\over{4\,n^2-1}}}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
* Euler:
\sum_{n=0}^{\infty }\cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2}
* Identidad de Euler
e^{\pi i} + 1 = 0\;
* Área bajo la campana de Gauss:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
* Fórmula de Stirling:
n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
* Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735:
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
* Euler:
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
* Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas:
\frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + \cfrac{\ldots}{\ddots}}}}}}}
* También como desarrollo en series:
\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}
* Formas de representación aproximada a π[17]
\frac {355}{113} = 3.141592....
\sqrt[29] {261424513284461} \approx \pi
* Método de Monte Carlo
En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.[18]
Cómputos de π [editar]
Categoría principal: Algoritmos de cálculo de Pi
Pi y los números primos [editar]
Utilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2 se obtiene:
\frac{1}{\zeta(2)}=\lim_{n\to\infty \atop p_n \in \mathbf{P}}\left (1-\frac{1}{2^2}\right )\left (1-\frac{1}{3^2}\right )\left (1-\frac{1}{5^2}\right )\left (1-\frac{1}{7^2}\right )\left (1-\frac{1}{11^2}\right )...\left (1-\frac{1}{p_{n}^2}\right )=\frac{6}{\pi^2}
donde pn es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso Problema de Basilea.
Fórmula de Machin [editar]
Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin, descubierta en 1706:
\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}
Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el ya citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posiciones decimales de π).
Métodos eficientes [editar]
Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los records más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones por segundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de Machin:
* K. Takano (1982).
\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
* F. C. W. Störmer (1896).
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}
Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.
Aproximaciones geométricas a π [editar]
Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.
Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás) y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).
Método de Kochanski [editar]
Método de Kochanski.
Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe el triángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que corte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia.
Demostración (suponiendo R = 1)
BC^2=AB^2+(3-DA)^2 \,\!
OF= \frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{DA}{EF} = \frac{OA}{OF} \rightarrow \frac{DA}{1/2}=\frac{1}{\sqrt{3}/2} \rightarrow DA=\frac{\sqrt{3}}{3}
Sustituyendo en la primera fórmula:
BC^2= 2^2+\left (3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 \rightarrow BC = \sqrt{40-6 \sqrt{3} \over 3}=3,141533...
Método de Mascheroni [editar]
Método de Mascheroni.
Método desarrollado por Lorenzo Mascheroni: se dibuja una circunferencia de radio R y se inscribe un hexágono regular. El punto D es la intersección de dos arcos de circunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A. Obtenemos el punto E como intersección del arco DE, con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE es un cuarto de la longitud de la circunferencia, aproximadamente.
Demostración (suponiendo R = 1)
AD=AC=\sqrt{3} OD=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}
BE=BD=\sqrt{(OD-MB)^2+MO^2} BE=BD=\sqrt{\left( \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{3-\sqrt{6}}
Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB'
BB' \cdot AE=AB \cdot EB' + BE \cdot AB'
2 \cdot AE= \sqrt{1+\sqrt{6}}+\sqrt{9-3 \cdot \sqrt{6}}=3,142399...
Uso en matemáticas y ciencia [editar]
π es ubicuo en matemáticas; aparece incluso en lugares que carecen de una conexión directa con los círculos de la geometría euclídea.[19]
Geometría y trigonometría [editar]
Véase también: Área de un círculo
Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es πd y el área del círculo es πr2. Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacionadas con la circunferencia, como elipses, esferas, conos, y toroides.[20] π aparece en integrales definidas que describen la circunferencia, área o volumen de figuras generadas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la mitad del área de un círculo unitario es:[21]
\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}
y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria es:[22]
\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \pi
Se puede integrar formas más complejas como sólidos de revolución.[23]
De la definición de las funciones trigonométricas desde el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienen período 2π. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° = (π/180) radianes.
En matemáticas modernas, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas, por ejemplo como el menor entero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas de la geometría euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Expandir funciones trigonométricas inversas como series de potencias es la manera más fácil de obtener series infinitas para π.
Análisis superior y teoría de números [editar]
Euler's formula.svg
La frecuente aparición de π en análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrito por la fórmula de Euler
e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!
donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación i2 = − 1 y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fórmula implica que las potencias imaginarias de e describen rotaciones un círculo unitario en el plano complejo; estas rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular, la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler
e^{i \pi} = -1.\!
Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad
e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).
La integral de Gauss
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.
Una consecuencia es que el resultado de la división entre la función gamma de un semientero (la mitad de un número impar) y √π es un número racional.
Física [editar]
Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando unidades como las unidades de Planck se puede eliminar a veces a π de las fórmulas.
* La constante cosmológica:[24]
\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho
* Principio de incertidumbre de Heisenberg:[25]
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
* Ecuación del campo de Einstein de la relatividad general:[26]
R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
* Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:[27]
F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
* Permeabilidad magnética del vacío:[28]
\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,
* Tercera ley de Kepler:
\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)}
Probabilidad y estadística [editar]
En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:
* la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:[29]
f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}
* la función de densidad de probabilidad para la distribución de Cauchy (estándar):[30]
f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.
Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1, entonces las fórmulas anteriores pueden usarse para producir otras fórmulas integrales para π.[31]
Representación del experimento en el modelo de la "aguja de Buffon", se lanzas dos agujas (a, b) ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a está cruzando la línea mientras que la aguja b no.
El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como una aproximación empírica de π. Se trata de lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera uniforme (con t > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar π usando el Método de Monte Carlo, lanzándola gran cantidad de veces:[32] [33] [34] [35]
\pi \approx \frac{2nl}{xt}.
Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo tres dígitos correctos (incluyendo el "3" inicial) requiere de millones de lanzamientos,[32] y el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de precisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.
Curiosidades [editar]
Reglas nemotécnicas [editar]
Es muy frecuente emplear poemas como regla nemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.
* Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:
Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros
* Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:
"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra griega π.
* Un tercer poema:
Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late...
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?...
* Otra regla, que permite recordar las primeras 32 cifras:
"Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual."Aquí también se utiliza la letra griega π para el primer 1.
Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado "Cadaeic Cadenza", escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros 3.834 dígitos. De esta forma, tomando "A" como 1, "B" como 2, "C" como 3, etc., el nombre de la historia saca los dígitos de pi, como "Cadaeic" es la primera palabra de 7 dígitos de pi:
C a d a e i c
3.1 4 1 5 9 3
Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas nemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para descubrir el arte empleado en cada idioma).
Aparición en medios [editar]
* En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números.
* Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.
* En La Película The Net, Aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y música, de un programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presiona CRTL+ALT+Click en π, se Accede a la interface de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de los Pretorianos, Que pedia un Usuario y un Password.
* En la serie de dibujos The Simpsons, en el episodio "Bye Bye Nerdie", el Professor Frink grita, a voz en cuello, que "¡π es igual a tres!", para atraer la atención de un auditorio compuesto por científicos. Cuando todos se dan vuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio.
* En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.
* La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.
Datos interesantes [editar]
"Piso-Pi", mosaico en la entrada del edificio de las matemáticas en TU Berlín.
Detalle del "Mazda Pi", se añadieron 27 cifras decimales de π a este automóvil.
Construcción aproximada para la cuadratura del círculo, encontrada por Ramanujan.
* El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
* El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
* 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡cuasi-perfecta!
* Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
* John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
* El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
* La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
* Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
* La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6 / π2
* Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
* En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
* En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
* El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
* Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
* En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es el número Pi: 3,1416.[36]
* El valor principal de la expresión ii es un número real y está dado por[37]
i^i=\left(e^{i\pi /2}\right)^i=e^{i^2\pi /2}=e^{-\pi /2}=0.207879...
* En la página web thinkgeek.com pueden comprarse camisetas y accesorios con π. En el enlace se puede ver una camiseta en la que se construye la letra π con sus primeros 4493 digitos.[38] [39]
* Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27 cifras de π, después del 3.[40]
* Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproximada,con regla y compás, a la cuadratura del círculo en 1913 en la que obtuvo un segmento aproximadamente igual a r \sqrt{\pi}:[41]
\mbox{segmento} =\frac{d}{2}\sqrt{\frac{355}{113}}\approx r\sqrt{\pi}
Días de Aproximación a Pi [editar]
Artículo principal: Día Pi
Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son:
* 14 de marzo.
* 26 de abril.
* 22 de julio.
* 10 de noviembre.
* 21 de diciembre.
Cuestiones abiertas sobre π [editar]
* Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?
* La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
* ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal?
* No se sabe si π+e, π/e , ln(π) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a ocho y con coeficientes enteros del orden 109.[42] [43]
Referencias [editar]
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Artículo bueno
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en Geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
\pi \approx 3{,}14159265358979323846...
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.
π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante en Geometría euclidiana.
Lista de números – Números irracionales
ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binario 11,00100100001111110110…
Decimal 3,14159265358979323846…
Hexadecimal 3,243F6A8885A308D31319…
Fracción continua 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}
Nótese que la fracción continua no es periódica.
Contenido
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* 1 El nombre π
* 2 Historia del calculo del valor π
o 2.1 Antiguo Egipto
o 2.2 Mesopotamia
o 2.3 Referencias bíblicas
o 2.4 Antigüedad clásica
o 2.5 Matemática china
o 2.6 Matemática india
o 2.7 Matemática islámica
o 2.8 Renacimiento europeo
o 2.9 Época moderna (pre-computacional)
o 2.10 Época moderna (computacional)
* 3 Características matemáticas
o 3.1 Definiciones
o 3.2 Número irracional y trascendente
o 3.3 Las primeras cincuenta cifras decimales
* 4 Fórmulas que contienen a π
o 4.1 En geometría
o 4.2 En probabilidad
o 4.3 En análisis matemático
* 5 Cómputos de π
o 5.1 Pi y los números primos
o 5.2 Fórmula de Machin
o 5.3 Métodos eficientes
* 6 Aproximaciones geométricas a π
o 6.1 Método de Kochanski
o 6.2 Método de Mascheroni
* 7 Uso en matemáticas y ciencia
o 7.1 Geometría y trigonometría
o 7.2 Análisis superior y teoría de números
o 7.3 Física
o 7.4 Probabilidad y estadística
* 8 Curiosidades
o 8.1 Reglas nemotécnicas
o 8.2 Aparición en medios
o 8.3 Datos interesantes
o 8.4 Días de Aproximación a Pi
* 9 Cuestiones abiertas sobre π
* 10 Referencias
* 11 Véase también
* 12 Enlaces externos
El nombre π [editar]
Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y popularizado por Leonhard Euler.
La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de un círculo.[1] Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones[2] y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no se debe confundir con el número de Arquímedes).
Historia del calculo del valor π [editar]
La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.
Antiguo Egipto [editar]
Detalle del papiro Rhind.
El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,[3] donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:
S = \pi r^2 \simeq \left( \frac{8}{9} \cdot d \right)^2 = \frac{64}{81} d^2 = \frac{64}{81} \left(4 r^2\right)
\pi \simeq \frac{256}{81} = 3{,}16049 \ldots
Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity,[4] describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.
Mesopotamia [editar]
Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de π igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de 3 + 1/8.
Referencias bíblicas [editar]
Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:
«Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos.»
I Reyes 7:23 (Reina-Valera 1995)
Una cita similar se puede encontrar en II Crónicas 4:2. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica.
Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto.
Método de aproximación de Liu Hui.
Antigüedad clásica [editar]
El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π, entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes[5] era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.
Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.
En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:
\pi \simeq \frac{377}{120} = 3{,}1416 \ldots
Matemática china [editar]
El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrólogo chino Chang Hong (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación \sqrt {10}, que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el método empleado.[6] Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir[7] que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96[8] o 192[6] lados. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados.[8] [9]
A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926 al que llamó «valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muy conocidas ambas,[10] siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV.[8]
Matemática india [editar]
Usando un polígono regular inscripto de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula π como \sqrt {10}, cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.[6]
Matemática islámica [editar]
En el siglo IX Al-Jwarizmi en su "Álgebra" (Hisab al yabr ua al muqabala) hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.
Renacimiento europeo [editar]
John Wallis, (1616–1703).
Leonhard Euler, (1707–1783).
A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Fibonacci, en su «Practica Geometriae», amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el método de Arquímedes.
Época moderna (pre-computacional) [editar]
En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac Newton desarrolla la serie[11]
\arcsin {x} = x + \frac {1}{2} \cdot \frac {x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2\cdot 4} \cdot \frac {x^5}{5} + \frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} \cdot \frac{x^7}{7} + \ldots
Con x = \frac {1} {2} obtuvo una serie para \arcsin(\frac {1} {2}) = \frac {\pi} {6}.
El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots = \frac{\pi}{2} .
En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemático inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con una precisión de 71 dígitos decimales usando la serie de Gregory:
\arctan (x) = x - \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} - \ldots
Con x = \frac {1} {\sqrt{3}} se obtiene una serie para \arctan (\frac {1} {\sqrt{3}}) = \frac {\pi} {6}. Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededor de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés Thomas de Lagny utilizó el mismo método para obtener una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112 eran correctos).
Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie matemática que lleva su nombre:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots = \frac{\pi}{4} .
Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159 andc. = π». Leonhard Euler adoptó el conocido símbolo en 1737, que se convirtió en la notación habitual hasta nuestros días.
El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales.
En 1789 el matemático de origen eslovaco Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.
El matemático aficionado de origen inglés William Shanks dedicó cerca de 20 años a calcular π y llegó a obtener 707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.
Algunas aproximaciones históricas de valores de π, anteriores a la época computacional, se muestran en la siguiente tabla:
Año Matemático o documento Cultura Aproximación Error
(en partes por millón)
~1900 a. C. Papiro de Ahmes Egipcia 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 a. C. Tablilla de Susa Babilónica 25/8 = 3,125 5282 ppm
~600 a. C. La Biblia (Reyes I, 7,23) Judía 3 45070 ppm
~500 a. C. Bandhayana India 3,09 16422 ppm
~250 a. C. Arquímedes de Siracusa Griega entre 3 10/71 y 3 1/7
empleó 211875/67441 ~ 3,14163
<402 ppm
13,45 ppm
~150 Claudio Ptolomeo Greco-egipcia 377/120 = 3,141666... 23,56 ppm
263 Liu Hui China 3,14159 0,84 ppm
263 Wang Fan China 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chang Hong China 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~500 Zu Chongzhi China entre 3,1415926 y 3,1415929
empleó 355/113 ~ 3,1415929 <0,078 ppm
0,085 ppm
~500 Aryabhata India 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta India 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~800 Al-Juarismi Persa 3,1416 2,34 ppm
1220 Fibonacci Italiana 3,141818 72,73 ppm
1400 Madhava India 3,14159265359 0,085 ppm
1424 Al-Kashi Persa 2π = 6,2831853071795865 0,1 ppm
Época moderna (computacional) [editar]
Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posibles. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de π.
En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener un número inmensamente grande de decimales; en 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, formada por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Para ello hicieron falta 73 horas y 36 minutos.
Año Descubridor Ordenador utilizado Número de cifras decimales
1949 G.W. Reitwiesner y otros[12] ENIAC 2.037
1954 NORAC 3.092
1959 Guilloud IBM 704 16.167
1967 CDC 6600 500.000
1973 Guillord y Bouyer[12] CDC 7600 1.001.250
1981 Miyoshi y Kanada[12] FACOM M-200 2.000.036
1982 Guilloud 2.000.050
1986 Bailey CRAY-2 29.360.111
1986 Kanada y Tamura[12] HITAC S-810/20 67.108.839
1987 Kanada, Tamura, Kobo y otros NEC SX-2 134.217.700
1988 Kanada y Tamura Hitachi S-820 201.326.000
1989 Hermanos Chudnovsky CRAY-2 y IBM-3090/VF 480.000.000
1989 Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1.011.196.691
1991 Hermanos Chudnovsky 2.260.000.000
1994 Hermanos Chudnovsky 4.044.000.000
1995 Kanada y Takahashi HITAC S-3800/480 6.442.450.000
1997 Kanada y Takahashi Hitachi SR2201 51.539.600.000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 68.719.470.000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 206.158.430.000
2002 Kanada y otros[12] [3] Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000
2004 Hitachi 1.351.100.000.000
2009 Daisuke Takahashi[13] T2K Tsukuba System 2.576.980.370.000
En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.
Características matemáticas [editar]
Se muestra la relación entre un cuadrado de lado r y un círculo de radio r. El área del círculo es πr2.
Definiciones [editar]
Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante.[14] No obstante, existen diversas definiciones del número π, pero las más común es:
* π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
Por tanto, también π es:
* El área de un círculo unitario (de radio unidad del plano euclídeo).
* El menor número real x positivo tal que sen(x) = 0.
También es posible definir analíticamente π, dos definiciones son posibles:
* Le ecuación sobre los números complejos eix + 1 = 0 admite una infinidad de soluciones reales positivas, la más pequeña de las cuales es precisamente π.
* La ecuación diferencial S''(x) + S(x) = 0 con las condiciones de contorno S(0) = 0,S'(0) = 1 para la que existe solución única, garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica cuya raíz positiva más pequeña es precisamente π.
Número irracional y trascendente [editar]
Artículo principal: Prueba de que π es irracional
Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.
También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,[15] 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham 1970[cita requerida]).
Las primeras cincuenta cifras decimales [editar]
A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los cincuenta primeros son:
π ≈ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias, así como Las primeras cien mil cifras decimales A00796 y OEIS.
En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeño que el tamaño de un protón.[16]
Fórmulas que contienen a π [editar]
Diameter and Pi 1.gif
En geometría [editar]
* Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r
Áreas de secciones cónicas:
* Área del círculo de radio r: A = π r²
* Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab
Áreas de cuerpos de revolución:
* Área del cilindro: 2 π r (r+h)
* Área del cono: π r² + π r g
* Área de la esfera: 4 π r²
Volúmenes de cuerpos de revolución:
* Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
* Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h
* Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3
Ecuaciones expresadas en radianes:
* Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.
En probabilidad [editar]
* La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
* Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
* El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
* Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Dπ/2L
En análisis matemático [editar]
* Fórmula de Leibniz:
\sum_{n=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}}\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
* Producto de Wallis:
\prod_{n=1}^{\infty }{{{4\,n^2}\over{4\,n^2-1}}}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
* Euler:
\sum_{n=0}^{\infty }\cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2}
* Identidad de Euler
e^{\pi i} + 1 = 0\;
* Área bajo la campana de Gauss:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
* Fórmula de Stirling:
n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
* Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735:
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
* Euler:
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
* Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas:
\frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + \cfrac{\ldots}{\ddots}}}}}}}
* También como desarrollo en series:
\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}
* Formas de representación aproximada a π[17]
\frac {355}{113} = 3.141592....
\sqrt[29] {261424513284461} \approx \pi
* Método de Monte Carlo
En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.[18]
Cómputos de π [editar]
Categoría principal: Algoritmos de cálculo de Pi
Pi y los números primos [editar]
Utilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2 se obtiene:
\frac{1}{\zeta(2)}=\lim_{n\to\infty \atop p_n \in \mathbf{P}}\left (1-\frac{1}{2^2}\right )\left (1-\frac{1}{3^2}\right )\left (1-\frac{1}{5^2}\right )\left (1-\frac{1}{7^2}\right )\left (1-\frac{1}{11^2}\right )...\left (1-\frac{1}{p_{n}^2}\right )=\frac{6}{\pi^2}
donde pn es el n-ésimo número primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso Problema de Basilea.
Fórmula de Machin [editar]
Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin, descubierta en 1706:
\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}
Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el ya citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posiciones decimales de π).
Métodos eficientes [editar]
Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los records más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones por segundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de Machin:
* K. Takano (1982).
\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
* F. C. W. Störmer (1896).
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}
Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.
Aproximaciones geométricas a π [editar]
Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.
Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás) y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).
Método de Kochanski [editar]
Método de Kochanski.
Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe el triángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que corte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia.
Demostración (suponiendo R = 1)
BC^2=AB^2+(3-DA)^2 \,\!
OF= \frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{DA}{EF} = \frac{OA}{OF} \rightarrow \frac{DA}{1/2}=\frac{1}{\sqrt{3}/2} \rightarrow DA=\frac{\sqrt{3}}{3}
Sustituyendo en la primera fórmula:
BC^2= 2^2+\left (3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 \rightarrow BC = \sqrt{40-6 \sqrt{3} \over 3}=3,141533...
Método de Mascheroni [editar]
Método de Mascheroni.
Método desarrollado por Lorenzo Mascheroni: se dibuja una circunferencia de radio R y se inscribe un hexágono regular. El punto D es la intersección de dos arcos de circunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A. Obtenemos el punto E como intersección del arco DE, con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE es un cuarto de la longitud de la circunferencia, aproximadamente.
Demostración (suponiendo R = 1)
AD=AC=\sqrt{3} OD=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}
BE=BD=\sqrt{(OD-MB)^2+MO^2} BE=BD=\sqrt{\left( \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{3-\sqrt{6}}
Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB'
BB' \cdot AE=AB \cdot EB' + BE \cdot AB'
2 \cdot AE= \sqrt{1+\sqrt{6}}+\sqrt{9-3 \cdot \sqrt{6}}=3,142399...
Uso en matemáticas y ciencia [editar]
π es ubicuo en matemáticas; aparece incluso en lugares que carecen de una conexión directa con los círculos de la geometría euclídea.[19]
Geometría y trigonometría [editar]
Véase también: Área de un círculo
Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es πd y el área del círculo es πr2. Además, π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacionadas con la circunferencia, como elipses, esferas, conos, y toroides.[20] π aparece en integrales definidas que describen la circunferencia, área o volumen de figuras generadas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la mitad del área de un círculo unitario es:[21]
\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}
y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria es:[22]
\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \pi
Se puede integrar formas más complejas como sólidos de revolución.[23]
De la definición de las funciones trigonométricas desde el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienen período 2π. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además, el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1° = (π/180) radianes.
En matemáticas modernas, π es a menudo definido usando funciones trigonométricas, por ejemplo como el menor entero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas de la geometría euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede ser definido usando funciones trigonométricas inversas, por ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Expandir funciones trigonométricas inversas como series de potencias es la manera más fácil de obtener series infinitas para π.
Análisis superior y teoría de números [editar]
Euler's formula.svg
La frecuente aparición de π en análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrito por la fórmula de Euler
e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!
donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación i2 = − 1 y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fórmula implica que las potencias imaginarias de e describen rotaciones un círculo unitario en el plano complejo; estas rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular, la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidad de Euler
e^{i \pi} = -1.\!
Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad
e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).
La integral de Gauss
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.
Una consecuencia es que el resultado de la división entre la función gamma de un semientero (la mitad de un número impar) y √π es un número racional.
Física [editar]
Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, Debido en gran parte a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando unidades como las unidades de Planck se puede eliminar a veces a π de las fórmulas.
* La constante cosmológica:[24]
\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho
* Principio de incertidumbre de Heisenberg:[25]
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
* Ecuación del campo de Einstein de la relatividad general:[26]
R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
* Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:[27]
F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
* Permeabilidad magnética del vacío:[28]
\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,
* Tercera ley de Kepler:
\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)}
Probabilidad y estadística [editar]
En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:
* la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:[29]
f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}
* la función de densidad de probabilidad para la distribución de Cauchy (estándar):[30]
f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.
Nótese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1, entonces las fórmulas anteriores pueden usarse para producir otras fórmulas integrales para π.[31]
Representación del experimento en el modelo de la "aguja de Buffon", se lanzas dos agujas (a, b) ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a está cruzando la línea mientras que la aguja b no.
El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como una aproximación empírica de π. Se trata de lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí, en t unidades, de manera uniforme (con t > l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar π usando el Método de Monte Carlo, lanzándola gran cantidad de veces:[32] [33] [34] [35]
\pi \approx \frac{2nl}{xt}.
Aunque este resultado es matemáticamente impecable, no puede usarse más que para determinar unos cuantos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo tres dígitos correctos (incluyendo el "3" inicial) requiere de millones de lanzamientos,[32] y el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados. Además, cualquier error en la medida de las longitudes l y t se transfiere directamente como un error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetros podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado. En la práctica, incertidumbres en la determinación de si la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo tocándola lleva el límite de precisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.
Curiosidades [editar]
Reglas nemotécnicas [editar]
Es muy frecuente emplear poemas como regla nemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.
* Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:
Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros
* Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:
"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra griega π.
* Un tercer poema:
Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late...
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?...
* Otra regla, que permite recordar las primeras 32 cifras:
"Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual."Aquí también se utiliza la letra griega π para el primer 1.
Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado "Cadaeic Cadenza", escrito en 1996 por el matemático Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros 3.834 dígitos. De esta forma, tomando "A" como 1, "B" como 2, "C" como 3, etc., el nombre de la historia saca los dígitos de pi, como "Cadaeic" es la primera palabra de 7 dígitos de pi:
C a d a e i c
3.1 4 1 5 9 3
Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas nemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para descubrir el arte empleado en cada idioma).
Aparición en medios [editar]
* En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números.
* Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.
* En La Película The Net, Aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y música, de un programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presiona CRTL+ALT+Click en π, se Accede a la interface de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de los Pretorianos, Que pedia un Usuario y un Password.
* En la serie de dibujos The Simpsons, en el episodio "Bye Bye Nerdie", el Professor Frink grita, a voz en cuello, que "¡π es igual a tres!", para atraer la atención de un auditorio compuesto por científicos. Cuando todos se dan vuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio.
* En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.
* La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo.
Datos interesantes [editar]
"Piso-Pi", mosaico en la entrada del edificio de las matemáticas en TU Berlín.
Detalle del "Mazda Pi", se añadieron 27 cifras decimales de π a este automóvil.
Construcción aproximada para la cuadratura del círculo, encontrada por Ramanujan.
* El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
* El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
* 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡cuasi-perfecta!
* Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
* John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
* El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
* La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
* Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
* La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6 / π2
* Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
* En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
* En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
* El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
* Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
* En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es el número Pi: 3,1416.[36]
* El valor principal de la expresión ii es un número real y está dado por[37]
i^i=\left(e^{i\pi /2}\right)^i=e^{i^2\pi /2}=e^{-\pi /2}=0.207879...
* En la página web thinkgeek.com pueden comprarse camisetas y accesorios con π. En el enlace se puede ver una camiseta en la que se construye la letra π con sus primeros 4493 digitos.[38] [39]
* Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27 cifras de π, después del 3.[40]
* Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproximada,con regla y compás, a la cuadratura del círculo en 1913 en la que obtuvo un segmento aproximadamente igual a r \sqrt{\pi}:[41]
\mbox{segmento} =\frac{d}{2}\sqrt{\frac{355}{113}}\approx r\sqrt{\pi}
Días de Aproximación a Pi [editar]
Artículo principal: Día Pi
Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de Aproximación a Pi son:
* 14 de marzo.
* 26 de abril.
* 22 de julio.
* 10 de noviembre.
* 21 de diciembre.
Cuestiones abiertas sobre π [editar]
* Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?
* La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
* ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal?
* No se sabe si π+e, π/e , ln(π) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a ocho y con coeficientes enteros del orden 109.[42] [43]
Referencias [editar]
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